Что такое ABC-тройки? | Открытые вопросы и решённые задачи | Следствия

Гипотеза о тройках ABC

Тройки ABC

ABC-тройка это три числа с определёнными свойствами. Во-первых - это положительные целые числа. Меньшее - a, среднее - b, наибольшее - c.
Числа a и b не могут иметь общих делителей, больших 1. Число c = a + b.

Возьмём, к примеру: a = 1, b = 8, с = 9. Чтобы выяснить, являются ли эти числа ABC-тройкой, найдём разложение этих чисел на простые множители: a = 1, b = 2*2*2, c = 3*3.
Затем, возьмём различающиеся числа из полученного разложения и перемножим их: 1*2*3 = 6. Полученное таким образом число будем называть корнем тройки a, b и c. То есть: r(1, 8, 9) = 6.

Вопрос: какой корень у тройки 4, 23, 27?

Ваш ответ:


  Вы ответили правильно!Вы ошиблись.Верный ответ: 138

Если r(a, b, c) меньше, чем c, то данная тройка чисел называется ABC-тройкой.

Ещё один пример: a = 5, b = 27, c = 32.
5 - простое, 27 = 3^3, 32 = 2^5. r(5, 27, 32) = 5*3*2 = 30.
Так как 30 < 32 то тройка 5, 27, 32 также является ABC-тройкой.

Однако далеко не всегда всё столь удачно. Например r(4, 15, 19) = 570.

Какая из следующих троек является ABC-тройкой?
a. (9, 16, 25)
b. (1, 63, 64)

Ваш ответ:


  Вы ответили правильно!Неверный ответ.Верный ответ: b

 

Сколько существует ABC-троек?

Если просматривать тройки из случайно взятых чисел, то, как правило, они не будут ABC-тройками, которые весьма редки. К примеру для С меньших чем 1000, существует только 15 ABC-троек. Однако, при увеличении C таких троек становится всё больше и больше. Привлекая к рассуждениям простейшую математику, мы обнаруживаем, что их бесконечно много.

Рассмотрим тройки вида a = 1, b = 9n-1, c = 9n, где n = 1,2,3... Сначала докажем, что b делится на 8, что не всегда можно заметить: Для n = 1 получаем b = 9 - 1 = 8. Тогда c = 8 + 1.
Умножив c на 9 мы получим его же, но из следующей тройки (для n = 2), что можем записать как: c = 9*8 + 9 = 10*8 + 1, а это - число кратное 8 плюс 1. Но тогда b и из этой тройки кратно восьми!
Продолжим: пусть b = 8*m. Тогда c = 8*m + 1. Следующее же c = 9*(8*m + 1) = 9*8*m + 9 = (9*m + 1)*8 + 1. Значит и следующее b делится на 8.

Тогда, мы можем записать, что b = 23*m, а в таком случае, набор простых делителей b состоит числа 2 и набора простых делителей числа m. Но, в тоже время, a не добавляет в общий никаких делителей кроме 1, а c - кроме 3. Но тогда корень тройки не может быть больше чем 2*m*3 = 6*m, что меньше, чем 8*m + 1. А раз так, то для любого натурального n тройка из чисел a = 1, B = 9n-1 и c = 9n является ABC-тройкой.

Качество ABC-тройки

Известные нам тройки чисел мы можем сравнивать (по принятому принципу) и называть одну лучшей, чем другая. Это можно сделать, определив качество тройки как некое число. Тройку с большим значением этого показателя будем называть лучше, чем тройку с меньшим значением этого же показателя.

Качество тройки обозначают как q, зависящее от числа c и корня тройки r: q - это степень, в которую надо возвести r для того, чтобы получить c. Т.е. rq = c. q можно выразить и при помощи логарифмов: q = log(c)/log(r). Чем меньше корень по сравнению с c, тем выше качество тройки.

Когда некие числа a, b и c являются ABC-тройкой, то по определению, корень должен быть меньше, чем c, поэтому q всегда больше 1. Как правило, q ненамного выше 1. Например, для a = 1, b = 8 и c = 9 получаем r = 6 и q = log(9)/log(6) = 1.22629.

Мы знаем о существовании бесконечно большого числа ABC-троек, для которых q > 1. Но мы не знаем, существует ли бесконечное число ABC-троек, для которых q > 1.5. Или, быть может, существует бесконечно много ABC-троек, для которых q > 1.1? Или для q > 1.01? А может для q > 1.001? Мы этого не знаем. На данный момент не известно ни одного метода, позволяющего находить бесконечное число ABC-троек для заданного q.


Предположения о тройках ABC

Теперь мы можем говорить о предположениях, касающихся ABC-троек. Существует два предположения - "сильное" и "слабое". Мы не знаем, какое из них является истинным, но если истинно сильное предположение, то истинно и слабое. Обратное же неверно - из-за этого одно из них и называется сильным, а другое - слабым.

После нескольких лет поисков ABC-троек наилучшая из найденных троек обладала показателем качества, значение которого приблизительно равно 1.63. Ни одной тройки с более высоким показатем q, на данный момент неизвестно. Не так сложно представить себе что это и есть верхний предел на качество ABC-троек, что и является "слабым" предположением, согласно которому, "Cуществует число g такое, что качество ни одной ABC-тройки не превосходит его".

Сильное же утверждение говорит о числе троек с высоким значением показателя качества - оно должно быть конечным. Согласно этому утверждению, даже при некотором заданном числе h чуть большим чем 1 (например h = 1.0001), должно существовать лишь конечное множество троек с показателем качества, превышающим h. Другими словами, "Для любого h > 1 существует бесконечное число ABC-троек со значением показателя качества большим 1, но меньшим h, и конечное число троек, являющихся исключением."

Попробуйте сами

Введите два из трёх чисел в поля, после чего проверьте их на возможность образования ABC-тройки.
a =
b =
c =

О понятии корня целого числа (примечание переводчика)

В Математике существует понятие "Корень целого числа" (в английском варианте - Radical of an integer), обозначающее произведение всех различных делителей числа. В описании проекта ABC@home он обозначается как rad(n), где n - число, корень которого извлекается. В таком виде, например, он встречается во второй и третьей части описания проекта. В тоже время, так как a, b и c, согласно определению ABC-тройки не имеют общих делителей, больше 1, корень тройки равен и корню из произведения данных чисел. То есть, r(a, b, c) = rad(abc).

 


Вернуться на BOINC.RU


Перевод выполнил hoarfrost, команда Crystal Dream

Оригинал статьи