Что такое ABC-тройки? | Открытые вопросы и решённые задачи | Следствия

Открытые вопросы и решённые задачи

Число совпадений

Посмотрев на список ABC-троек, можно заметить, что в различных тройках встречается одно и то же c. Некоторые появляются только один раз, какие-то - дважды, а некоторые - и более. Мы знаем,что для любого n есть c, которое появляется в n тройках. Но какое наименьшее c, появляющееся в двух тройках? А в трёх? В четырёх? То же самое справедливо и для b, но мы снова не знаем, каково наименьшее b, появляющееся в n тройках.

Мы знаем, что любое a появляется в бесконечно большом числе троек.

Разница между a и b

Какие значения может принимать разность b - a, если а, b и c - составляют ABC-тройку? Существуют ли значения, которые никогда не встречаются? Встречаются ли одни значения чаще, чем другие?

Малые тройки

Существует бесконечно много ABC-троек, но сколько существует троек у которых c < n? И насколько много троек в которых b меньше чем 2a?

Неделимые числа

Для любой ABC-тройки a,b или c делится на 2. Для каждого ли n существует такая ABC-тройка, что a, b и c не делятся на n?

Тройки - близнецы

Тройки называются близнецами, если у них одно и то же c и один и тот же корень. В таком случает у них и одинаковое значение качества. Бесконечно ли много таких близнецов?

Не ABC-тройки

Если a + b = c, при том, что a и b - взаимно простые, а корень тройки меньше, чем c (т.е. rad(abc) < с), мы имеем ABC-тройку. Но мы также, можем искать и не ABC-тройки, корень которых больше, чем c, а их качество меньше единицы (т.е. q < 1). Можем ли мы построить последовательность, сходящуюся к 1/3?

Вим Вурн (Wim Voorn) недавно решил эту задачу, доказав, что существует бесконечно много троек вида x, x + 1, 2x + 1, составленных из свободных от квадратов чисел.


 

Оригинал на сайте проекта ABC@home: http://abcathome.com/problems.php