Форум

Пожалуйста or Регистрация для создания сообщений и тем.

Исследование свойств диагональных латинских квадратов в проектах добровольных распределенных вычислений и не только...

PreviousPage 155 of 155

С использованием описанного ранее подхода по поиску обобщенных симметрий в ДЛК было осуществлено составление полного перечня обобщенных симметрий (включая обобщенные симметрии в парастрофических срезах), которые могут иметь ОДЛК порядков 4 и 5. Их оказалось 76 и 44 соответственно, с их подробным описанием (пример ДЛК с указанным типом симметрии, вид парастрофического преобразования, перестановки и их структура циклов) можно ознакомиться тут:

* http://evatutin.narod.ru/dls_gen_symms/n4_odls_symmetries_list.html
* http://evatutin.narod.ru/dls_gen_symms/n5_odls_symmetries_list.html

Составление аналогичных перечней для ОДЛК бОльших порядков на подходе...

Загруженные файлы:
  • Вам нужно войти, чтобы просматривать прикрепленные файлы..
Array
hoarfrost, citerra и ещё 2 отреагировали на эту запись.
hoarfrostciterraAenBleiddШмяка

Обобщенные симметрии ОДЛК порядков 7-8 в парастрофических срезах

Ранее (см. https://vk.com/wall162891802_2053) были построены списки симметрий для ОДЛК порядков 4 и 5. Расширим их на бОльшие размерности. Возьмем списки КФ ОДЛК и построим по ним множества симметрий. Для порядка 7 эта процедура выполняется за несколько секунд, порядок 8 требует чуть более часа вычислительного времени. В результате получаются списки из 73 и 3522 симметрий соответственно, что само по себе здорово, но есть небольшое сомнение в том, что данные списки являются исчерпывающими.

С целью подтверждения сомнения выполним простейшее преобразование: транспонируем все КФы в списках с последующей нормализацией и произведем поиск симметрий повторно. (Идея выполнения транспонирования вызвана тем, что некоторые картинки расположения симметрий в парастрофических срезах получились не симметричным относительно главной диагонали, а это значит, что если исходный квадрат обладает симметрией (x,y), то его транспонированный изоморф должен обладать симметрией (y,x). Это правило применимо не ко всем срезам, т.к. для некоторых из них "нижний треугольник" одного из срезов будет симметричен "верхнему треугольнику" другого, но в общем и целом оно вполне работоспособно и применимо для подтверждения сомнения). В результате получаются списки из 83 и 3747 симметрий соответственно, что подтверждает сомнение.

Не получится ли расширить списки путем выполнения остальных эквивалентных преобразований? Для каждой КФ построим соответствующий ей класс изоморфизма путем применения всех возможных комбинаций преобразований M1 x M2 x {транспонирования, сдвиги, повороты, отражения}, для полученных (исчерпывающих) списков КФ ОДЛК выполним поиск симметрий. В результате для порядка N=7 получен список из 145 симметрий, что явно больше найденных ранее 73 и 83 симметрий. Для порядка N=8 данная процедура уже будет достаточно долгой и может быть выполнена в перспективе в проекте...

Таким образом, можно сделать вывод о том, что для построения исчерпывающих списков симметрий для выбранной размерности необходимо работать с исходными нормализованными ДЛК, а не с их КФ'ами.

Ну и напоследок... Заметим, что для N=1 единственный ДЛК обладает шестью обобщенными симметриями (по одной тривиальной в каждом из парастрофических срезов). Для порядков N=2 и N=3 ДЛК не существуют, а значит ни ОДЛК, ни обобщенных симметрий для последних нет. Для N=6 ОДЛК не существуют, поэтому для этой размерности обобщенных симметрий нет (по крайней мере для ОДЛК). Объединяя полученную информацию, получаем следующий числовой ряд — число обобщенных симметрий ОДЛК порядков 1-8 в парастрофических срезах:

6, 0, 0, 76, 44, 0, 145, >=3747

Полученный ряд не представлен в OEIS и планируется в добавлению по мере подтверждения серии текущих правок. Для порядка N=8 точное значение может быть получено в рамках сравнительно небольшого вычислительного эксперимента. Для порядков N=9 и N=10 аналогичные вычислительные эксперименты потребуют как минимум нескольких лет расчетов на грид.

Полученные списки симметрий для порядков 7 и 8 могут быть найдены тут:

* http://evatutin.narod.ru/dls_gen_symms/n7_odls_symmetries_list.html
* http://evatutin.narod.ru/dls_gen_symms/n8_odls_symmetries_list.html

PS. Напомню, что понимание того, как расположены обобщенные симметрии для выбранной размерности N позволяет находить соответствующие им редкие ДЛК. Например, для порядка N=10 это позволило как минимум найти множество редких комбинаторных структур (см. http://evatutin.narod.ru/evatutin_ls_all_structs_rus.pdf), наиболее интересные места уже пройдены, но поиск в настоящее время не окончен и активно продолжается в проекте RakeSearch. На перспективу дальнейших исследований есть подозрение, что у подобных редких ДЛК могут быть и другие интересные свойства...

Загруженные файлы:
  • Вам нужно войти, чтобы просматривать прикрепленные файлы..
Array
hoarfrost, citerra и ещё 2 отреагировали на эту запись.
hoarfrostciterraAenBleiddШмяка

Вслед за https://vk.com/wall162891802_2057 выполним поиск обобщенных симметрий в ОДЛК (без парастрофических преобразований), в результате чего получится следующий новый числовой ряд — число обобщенных симметрий в ОДЛК порядка N:

1, 0, 0, 10, 7, 0, 8, a(8)>=74, a(9)>=41

Значения для a(8) и a(9) получены по спискам КФ ОДЛК путем применения к ним комбинации преобразований транспонирования и отражения по горизонтали, для чего потребовалось 5 минут и 9,5 часов работы Core i7 4770 в один поток соответственно. В перспективе для данных размерностей надо бы полностью развернуть главные классы, но для этого потребуются существенно бОльшие вычислительные затраты, расчет в перспективе будем выполнять в проекте...

Возьмем разработанные ранее полнопереборные генераторы ДЛК заданного порядка, с их помощью получим все множества ДЛК, по которым построим исчерпывающие списки обобщенных симметрий. В результате для порядков N<=7 получаются следующие два новых числовых ряда:

* число обобщенных симметрий в ДЛК порядка N: 1, 0, 0, 10, 8, 12, 12
* число обобщенных симметрий в парастрофических срезах в ДЛК порядка N: 6, 0, 0, 76, 74, 199, 861

Для расширения полученных числовых рядов на бОльшие размерности необходим грид.

Ссылки на все полученные списки обобщенных симметрий могут быть найдены на моей страничке, полученные новые числовые ряды планируются к добавлению в OEIS по мере подтверждения текущих правок.

Загруженные файлы:
  • Вам нужно войти, чтобы просматривать прикрепленные файлы..
Array
hoarfrost, citerra и Шмяка отреагировали на эту запись.
hoarfrostciterraШмяка

В результате обработки первого миллиона КФ ОДЛК порядка 10 получен первый набросок множества обобщенных симметрий для ОДЛК данной размерности:

 

http://evatutin.narod.ru/odls_gen_symms/n10_odls_symmetries_list.html

 

На это потребовалось 2,7 суток работы Core i7 4770 в 1 поток, всего обнаружено 27 разновидностей обобщенных симметрий и 2853 обобщенных симметрии в парастрофических срезах. Построение множества симметрий продолжается...

PS. Напомню, что разведка обобщенных симметрий на предмет обнаружения редких комбинаторных структур в настоящее время выполняется в проекте RakeSearch (https://rake.boincfast.ru/rakesearch/), подпроект Generalized symmetries in parastrophic slices for DLS of order 10. До обработки этих КФ ОДЛК мы еще не добрались, они пойдут позже, а находок (кодов симметрий) уже довольно много, что не может не радовать.

Загруженные файлы:
  • Вам нужно войти, чтобы просматривать прикрепленные файлы..
Array
hoarfrost, citerra и Шмяка отреагировали на эту запись.
hoarfrostciterraШмяка
PreviousPage 155 of 155