Сумма трех кубов.
Есть в математике одна довольна "старая" нерешенная задача - Сумма трёх кубов
Википедия так описывает её:
Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.
Соответствующее диофантово уравнение записывается как Необходимое условие для представимости числа в виде суммы трёх кубов: с той задачей слегка соприкаснулся в 2010-м году, когда
не равно 4 или 5 по модулю 9.
В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.
Я с этой проблемой немного соприкоснулся в 2010-м году, когда стал общаться с Леонидом Дурманом, который в те времена сам пытался, в какой-то части, решить эту задачу. Если не ошибаюсь у него было свое приложение, которое запускали желающие (BOINC-ом тогда и "не пахло"). Вроде бы и я что-то считал (а может и нет - давно было). Запустить решение в рамках BONC-проекта, к сожалению, не удалось.
Но потихоньку с использованием суперкомпьютерных высокопроизводительных вычислений эта задача решается.
В марте 2016 года Леонид мне сообщал:
Задача трех кубов до сих пор не решена. Есть некоторая математически обоснованная гипотеза, что значения для d=33 = x^3 + y^3 + z^3 будут начинаться от 10^20 и выше. Это находится далеко за гранью современных компьютеров. Хотя кто знает, может значение лежит существенно ниже.
Та же Википедия сообщает, что:
На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 9 чисел от 100 до 1000: 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975
Интересн бы почитать новости на эту тему в популярном изложении от более понимающих людей.
вот с этой задачей точно возникает вопрос: "какая польза от этого для народного хозяйства?"
Право слово, иногда создается впечатление, что математики просто от балды придумывают какую-нибудь задачу, а потом героически решают ее толпой, в течение пары веков ... Потом прогоняют с помощью компьютера и радостно сообщают об открытии (не зря им нобелевку не дают, все-таки 
Ну серьезно, те товарищи, которые в этом году нашли два решения, могли бы сказать "В процессе поиска решения мы разработали эффективный алгоритм возведения больших чисел в степень", который поможет какую-нибудь погоду просчитывать, например. Ну или "мы наконец-то осилили тупой перебор" и стали чуть умнее ... А так это выглядит, что они решили задачу типа "а давайте найдем такое число, квадратный корень которого, возведенный в 15 степень, поделенный на 7 и сложенный с числом шестерок в себе, дает в итоге число, куб которого заканчивается на цифру три"
Тренировка мозгов, например. ))
Здесь, хотя бы, более-менее честно всё: пользы для народного хозяйства нет, но вдруг где-нибудь когда-нибудь пригодится.
А бывает же по-другому, типа "а давайте посчитаем какой-нибудь белок". И хотя может быть заранее известно, что затея совершенно бессмысленная, но результат ровно тот же - "а вдруг!"
Хотелось мне, чтобы на этот вопрос в этой ветке ответил разбирающийся в вопросе человек. "Подбивал" на это дело Леонида Дурмана, он откликнулся, но, по его словам, "не очень писатель, а больше читатель" 
Правда мне в письме свои мысли на эту тему высказал. Надеюсь, что он не будет против, если я его ответ насчет скептицизма тут приведу:
А скептики - так весь мир состоит из скептиков и лишь единицы гении которые и толкают цивилизацию вперед, так было всегда есть и будет. Сомневаюсь что Эйнштейн сидел бы на форуме и доказывал обывателям свою теорию относительности. Он написал книгу, а люди уже сотню лет проверяют и перепроверяют его выводы и там еще мыслей на сотни лет вперед осталось. Кому надо тот услышит, кому не надо может поиграть в игру верю не верю, нужно не нужно....
Намберфил который популизировал задачу о трех кубах на ютубе привлек аудиторию в миллионы людей к ней. из которых 99,99% посчитали это полной ерундой
и лишь пару пытливых умов сделали новый шаг вперед в математике, который ранее не увидели за сотни лет. Так и происходит прогресс в мире.Много людей восторгаются сегодня iphone как совершенными продуктами и удачливым бизнесменом Стивом Джобсом. Но я знал лично главного инженера фирмы Apple Ричарда Крендела - одного из величайших гениев математики современности, который сам недавно, к сожалению, ушел из жизни. Так вот он писал, что внутри этого iphone огромное, просто безумное количество современной математики и алгоритмики и без этих весомых мысленных усилий не было бы подобных продуктов современности.
С уважением
Леонид