Исследование свойств диагональных латинских квадратов в проектах добровольных распределенных вычислений и не только...
В составе комбинаторной структуры 28935C190112PM из ДЛК порядка 11 клик мощностью более 8 не найдено. В составе других структур, полученных в ходе эксперимента, их также не обнаружено, что не позволяет усилить ограничение a(11)>=8 в ряду https://oeis.org/A328873. По крайней мере для имеющихся в распоряжении структур...
В OEIS добавлен новый числовой ряд: число главных классов циклических ДЛК порядков N<=23:
В ходе обработки ДЛК порядка 12, входящих в состав найденной большой комбинаторной структуры, попался квадрат
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 8 6 7 11 9 10
3 5 9 0 7 1 10 4 11 2 6 8
2 10 6 8 11 4 7 0 3 5 1 9
9 6 1 11 3 7 4 8 0 10 5 2
8 4 5 2 0 10 1 11 9 6 7 3
5 9 8 7 10 0 11 1 4 3 2 6
4 3 11 1 6 2 9 5 10 0 8 7
7 0 3 5 1 9 2 10 6 8 11 4
6 8 4 10 2 11 0 9 1 7 3 5
11 7 10 9 8 6 5 3 2 1 4 0
10 11 7 6 9 8 3 2 5 4 0 1
у которого 11321 ОДЛК, что составляет новый рекорд: в ряду https://oeis.org/A287695 было a(12)>=3641, стало a(12)>=11321.
В настоящий момент для этой структуры обработаны почти 12 тыс. ДЛК, предстоит обработать 640 тыс. ДЛК и последний список постоянно растет. Для его обработки в 1 поток необходимо минимум 300 суток (а с учетом роста списка скорее всего в несколько раз больше), поэтому часть вычислительной работы будет выполнена в проекте. Для этого в подпроекте ODLS BS версия расчетного модуля обновлена на 1.2.7 и время от времени теперь будут попадаться задания с именами wu_e1024_n12_huge1_*, которые как раз и представляют собой отдельные ДЛК данной большой структуры.
Найденный квадрат интересен тем, что он обладает одновременно тремя симметриями:
* по горизонтали (плоскостная симметрия);
* по вертикали (плоскостная симметрия);
* центральная симметрия.
Такие квадраты можно назвать трижды симметричными :), дважды симметричные были до этого (симметрии в двух плоскостях). Поиск трижды симметричных ДЛК можно сделать целенаправленно, скорее всего у них будет большое количество трансверсалей и ОДЛК... Не исключено, что данный квадрат обладает еще и рядом обобщенных симметрий, проверка которых в настоящий момент не выполнялась.
Обработка большой структуры продолжается...
[upd]
А еще у данного квадрата 156 интеркалятов: что позволяет "подвинуть" текущий рекорд в ряду https://oeis.org/A307164: было a(12)>=148, стало a(12)>=156.
[upd2]
У данного квадрата мощность главного класса составляет 46080, что на данный момент является рекордом и позволяет установить ограничение a(12)<=46080 в ряду https://oeis.org/A299783.
О связи двойной симметрии с центральной
Утверждение: любой ДЛК, обладающий двойной симметрией (вертикальной и горизонтальной), также обладает и центральной симметрией. Обратное утверждение в общем случае неверно.
В справедливости утверждения достаточно легко убедиться.
1. При горизонтальной симметрии для каждого значения v существует взаимно однозначно соответствующее ему значение v' (в случае нормализованного по первой строке квадрата v' = N-1-v, в общем случае v' = Pv_horz[v], v = Pv_horz[v'], где Pv_horz — некоторая M-перестановка).
2. Аналогично, при вертикальной симметрии каждому значению v' взаимно однозначно соответствует значение v": v" = Pv_vert[v'], v' = Pv_vert[v"].
Из двух утверждений выше следует, что для всех v и v" существует взаимно однозначное соответствие:
(1) v" = Pv_vert[Pv_horz[v]], v = Pv_vert[Pv_horz[v"]].
Несложно показать, что и между координатами ячеек существует соответствие
(2) [x][y] <-> [x"][y"] = [N-1-x][N-1-y].
(1) и (2) описывают не что иное как центральную симметрию! Утверждение доказано.
В ходе обработки КФ ОДЛК порядка 12 в составе большой комбинаторной структуры найден ДЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 3 6 5 8 7 11 9 10
2 3 5 1 0 9 4 11 10 6 8 7
6 7 8 9 11 1 10 0 2 3 4 5
9 10 11 8 6 2 7 5 3 0 1 4
3 6 9 0 7 10 1 4 11 2 5 8
5 8 7 10 9 0 11 2 1 4 3 6
7 0 1 6 8 4 9 3 5 10 11 2
8 9 6 7 1 11 0 10 4 5 2 3
4 5 3 11 10 7 2 1 0 8 6 9
11 4 10 2 5 8 3 6 9 1 7 0
10 11 4 5 2 3 8 9 6 7 0 1
у которого 164 интеркалята. На данный момент данное количество является рекордным и позволяет усилить нижнюю границу с a(12)>=156 до a(12)>=164 в числовом ряду https://oeis.org/A307164.
На данный момент для комбинаторной структуры построен список из более чем 1,2 млн. КФ ОДЛК (список стабильно пополняется), полностью обработанными из которых являются чуть более чем 15 тыс. КФ ОДЛК.
В ходе обработки КФ ОДЛК порядка 12 в составе большой комбинаторной структуры найден ДЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 3 6 5 8 7 11 9 10
2 0 3 5 7 1 10 4 6 8 11 9
9 10 11 8 5 4 7 6 3 0 1 2
7 6 10 11 9 8 3 2 0 1 5 4
8 7 6 9 10 11 0 1 2 5 4 3
10 11 9 6 8 7 4 3 5 2 0 1
11 9 8 7 6 10 1 5 4 3 2 0
6 8 7 10 2 0 11 9 1 4 3 5
5 4 1 2 11 3 8 0 9 10 7 6
3 5 4 0 1 9 2 10 11 7 6 8
4 3 5 1 0 2 9 11 10 6 8 7
обладающий рекордно малым числом трансверсалей, равным 13408, что позволяет усилить верхнее ограничение в ряду https://oeis.org/A287645 с a(12)<=13640 до a(12)<=13408. Интересно то, что данный квадрат является дважды симметричным, что обычно является признаком большого, а не малого числа трансверсалей, в данном случае получается наоборот. Малое число трансверсалей не мешает данному ДЛК иметь 421 ОДЛК — мал, да удал :).
Походив по окрестностям найденного квадрата, ограничение можно дополнительно усилить до a(12)<=11888 для квадрата
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 8 9 11 10 6 7
9 4 3 6 1 0 11 10 5 8 7 2
2 7 10 5 8 11 4 1 9 0 3 6
10 9 7 8 11 6 5 0 3 1 2 4
7 10 6 11 9 8 3 2 4 5 0 1
8 11 9 10 6 7 1 5 0 2 4 3
11 6 8 7 10 9 2 4 1 3 5 0
5 8 11 2 7 10 0 3 6 4 1 9
6 0 1 9 3 4 10 11 2 7 8 5
3 5 4 0 2 1 7 6 10 11 9 8
4 3 5 1 0 2 9 8 7 6 11 10
который имеет симметрию в одной плоскости, но ОДЛК уже не имеет.
В настоящий момент обработано 16 тыс. КФ ОДЛК (около 1% от известных на данный момент для данной структуры), предстоит обработать еще 1,4 млн. КФ ОДЛК, обработка продолжается.
В ходе обработки КФ ОДЛК порядка 12 в составе большой комбинаторной структуры найден ДЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 3 6 5 8 7 11 9 10
2 0 1 5 7 8 3 4 6 10 11 9
7 8 6 11 2 1 10 9 0 5 3 4
8 6 7 10 9 0 11 2 1 4 5 3
6 7 8 9 11 10 1 0 2 3 4 5
9 10 11 6 8 7 4 3 5 0 1 2
11 9 10 7 6 3 8 5 4 1 2 0
10 11 9 8 5 4 7 6 3 2 0 1
5 3 4 2 10 11 0 1 9 7 8 6
4 5 3 1 0 9 2 11 10 8 6 7
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
обладающий рекордным на данный момент числом интеркалятов, равным 172. Данная находка позволяет усилить нижнее ограничение с a(12) >= 164 до a(12) >= 172 в ряду https://oeis.org/A307164.
Обработка структуры продолжается, на данный момент обработаны 33 тыс. КФ ОДЛК в ее составе, предстоит обработать еще более 5 млн. КФ ОДЛК, последний список по прежнему стабильно растет.
В ходе обработки КФ ОДЛК порядка 12 в составе большой комбинаторной структуры найден ДЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 3 6 5 8 7 11 9 10
2 5 1 0 8 7 4 3 11 10 6 9
11 9 10 7 6 3 8 5 4 1 2 0
9 10 11 8 5 4 7 6 3 0 1 2
8 6 4 11 2 10 1 9 0 7 5 3
10 11 9 6 7 8 3 4 5 2 0 1
4 8 6 10 0 9 2 11 1 5 3 7
6 4 8 2 11 1 10 0 9 3 7 5
7 0 3 5 10 2 9 1 6 8 11 4
3 7 5 9 1 11 0 10 2 6 4 8
5 3 7 1 9 0 11 2 10 4 8 6
обладающий рекордным на данный момент числом интеркалятов, равным 180. Данная находка позволяет усилить нижнее ограничение с a(12) >= 172 до a(12) >= 180 в ряду https://oeis.org/A307164.
Обработка структуры продолжается, на данный момент обработаны 54 тыс. КФ ОДЛК в ее составе, предстоит обработать еще более чем 9,5 млн. КФ ОДЛК, последний список по прежнему стабильно растет.
В ходе обработки КФ ОДЛК порядка 12 в составе большой комбинаторной структуры найден ДЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 3 6 5 8 7 11 9 10
2 5 3 11 7 10 1 4 0 8 6 9
7 10 11 8 5 2 9 6 3 0 1 4
5 3 7 9 11 1 10 0 2 4 8 6
3 7 5 0 10 9 2 1 11 6 4 8
6 9 8 10 0 7 4 11 1 3 2 5
8 6 9 7 1 11 0 10 4 2 5 3
9 0 1 5 8 4 7 3 6 10 11 2
4 8 6 1 9 0 11 2 10 5 3 7
11 4 10 2 6 3 8 5 9 1 7 0
10 11 4 6 2 8 3 9 5 7 0 1
к которого 17506 ОДЛК, что на данный момент является рекордом и позволяет усилить нижнее ограничения с a(12)>=11321 до a(12)>=17506 в ряду https://oeis.org/A287695.
На некоторых WU'шках при обработке заданий по анализу свойств КФ ОДЛК порядка 12 большой комбинаторной структуры появились ошибки, версия расчетного модуля в подпроекте ODLS BS изменена на 1.2.8. Данная партия WU'шек имеет имена wu_e1054_huge1_part8_*. После смены версии они должны считаться нормально, но теперь у меня есть опасение по времени их счета. Считаем и наблюдаем...